ପ୍ରଶ୍ନ: ଟେବୁଲର ସୀମା
$500 ଟେବୁଲରେ $10ର Martingale। ଏହା କେତେ ଥର ଭାଙ୍ଗେ, ଭାଙ୍ଗିଲେ କେତେ ହାରେ, ଆଉ ସୀମା ବଢ଼ାଇଲେ କ’ଣ ସାହାଯ୍ୟ ହୁଏ?
ଲଗାତାର ଛଅଟି ହାର ଏହାକୁ ଭାଙ୍ଗେ: ପ୍ରତି ପୂର୍ଣ୍ଣ କ୍ରମରେ 1.8%, 100 ଘୂର୍ଣ୍ଣନର ସେସନର ପ୍ରାୟ 60%। ଭାଙ୍ଗିବାର ଖର୍ଚ୍ଚ $630। ସୀମାକୁ $5,000 କଲେ ଭାଙ୍ଗିବା ବିରଳ (ପ୍ରତି ପୂର୍ଣ୍ଣ କ୍ରମରେ 0.25%) ଓ ବଡ଼ ($5,110) ହୁଏ। ଲଗାଯାଇଥିବା ପ୍ରତି ଡଲାରରେ ପ୍ରତ୍ୟାଶିତ କ୍ଷତି ଯେକୌଣସି ସୀମାରେ 2.70%।
ସମସ୍ୟାଟି
ଜଣେ ଖେଳାଳି ଲାଲବାଜିଲାଲ18ଟି ଲାଲ ସଂଖ୍ୟା ଉପରେ ସମାନ ଦେୟ ବାଜି। ଫରାସୀରେ: rouge।ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ପଢ଼ନ୍ତୁ → ଉପରେ $10 ଲଗାନ୍ତି ଓ ପ୍ରତ୍ୟେକ ହାର ପରେ ଦୁଇଗୁଣ କରନ୍ତି, ଜିତିଲେ ପୁଣି ଆରମ୍ଭରୁ। ଟେବୁଲର ସର୍ବାଧିକ ସୀମା $500। (a) କେତେଟି ଲଗାତାର ହାର ବାଜି ବଦଳ କ୍ରମକୌଶଳବାଜି ବଦଳ କ୍ରମପୂର୍ବ ଫଳ ଆଧାରରେ ବାଜି ରାଶି ବଦଳାଉଥିବା ଯେକୌଣସି ନିୟମ। ନକାରାତ୍ମକ କ୍ରମ ହାର ପରେ ଏହାକୁ ବଢ଼ାଏ, ସକାରାତ୍ମକ କ୍ରମ ଜିତ ପରେ।ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ପଢ଼ନ୍ତୁ →କୁ ଭାଙ୍ଗେ? (b) ପ୍ରତି ପୂର୍ଣ୍ଣ କ୍ରମରେ ସମ୍ଭାବ୍ୟତାଗଣିତସମ୍ଭାବ୍ୟତାଗୋଟିଏ ଫଳର ସମ୍ଭାବନା, 0ରୁ 1 କିମ୍ବା 0%ରୁ 100%। ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା: 1/37 = 2.70%।ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ପଢ଼ନ୍ତୁ → କେତେ? (c) ଭାଙ୍ଗିଲେ କେତେ ହାରନ୍ତି? (d) $5,000 ସୀମା ଉତ୍ତରଗୁଡ଼ିକୁ କିପରି ବଦଳାଏ? (e) କୌଣସି ସୀମା କ’ଣ ପଦ୍ଧତିଟିକୁ ଲାଭଦାୟକ କରେ?
ସମାଧାନ (a)–(c)
ବାଜି ରାଶି: 10, 20, 40, 80, 160, 320। ସପ୍ତମଟି 640 > 500 ହୁଅନ୍ତା, ତେଣୁ ଛଅଟି ହାର ଏହାକୁ ଭାଙ୍ଗେ। (b) ଲାଲରେ p(ହାର) = 19/37; (19/37)⁶ = 0.0183, ପ୍ରତି ପୂର୍ଣ୍ଣ କ୍ରମରେ ପ୍ରାୟ 1.8%। ଗୋଟିଏ ପୂର୍ଣ୍ଣ କ୍ରମ ହାରାହାରି ପ୍ରାୟ ଦୁଇ ଘୂର୍ଣ୍ଣନ ଚାଲେ, ତେଣୁ 100 ଘୂର୍ଣ୍ଣନର ସେସନରେ ପ୍ରାୟ 50ଟି ପୂର୍ଣ୍ଣ କ୍ରମ ଥାଏ ଆଉ p(ଅନ୍ତତଃ ଥରେ ଭାଙ୍ଗିବା) ≈ 1 − 0.9817⁵⁰ ≈ 60%। (c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630, ଅର୍ଥାତ୍ 63 ଆଧାର ଏକକଟଙ୍କାଏକକଗୋଟିଏ ପଦ୍ଧତି କିମ୍ବା ଖେଳାଳି ଯେଉଁ ମୂଳ ବାଜି ରାଶିରେ କାମ କରନ୍ତି। ବାଜି ବଦଳ କ୍ରମକୁ ଏକକରେ ବର୍ଣ୍ଣନା କରାଯାଏ ଯାହାଫଳରେ ତାହା ଯେକୌଣସି ଟେବୁଲରେ ଲାଗୁ ହୁଏ।ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ପଢ଼ନ୍ତୁ →, ପୂର୍ଣ୍ଣ କ୍ରମଟି ଜିତିବାକୁ ଚେଷ୍ଟା କରୁଥିବା $10 ତୁଳନାରେ।
ସମାଧାନ (d)
$5,000ରେ: 2,560 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ବାଜି ରାଶି ଅନୁମୋଦିତ; ଦଶମ ବାଜି ରାଶି 5,120 ପ୍ରତ୍ୟାଖ୍ୟାନ ହୁଏ। ନଅଟି ହାର ଏହାକୁ ଭାଙ୍ଗେ: ପ୍ରତି ପୂର୍ଣ୍ଣ କ୍ରମରେ (19/37)⁹ ≈ 0.25%, 100 ଘୂର୍ଣ୍ଣନର ସେସନର ପ୍ରାୟ 11%। ଭାଙ୍ଗିଲେ କ୍ଷତି: 10 + 20 + … + 2,560 = $5,110। ଖେଳାଳି ବଡ଼ ବିପର୍ଯ୍ୟୟର ଦାମରେ ଏକ ବିରଳ ବିପର୍ଯ୍ୟୟ କିଣିଛନ୍ତି। ଅନେକ ସେସନରେ ଭାଙ୍ଗିବାର ପ୍ରତ୍ୟାଶିତ ଖର୍ଚ୍ଚ p × କ୍ଷତି ≈ $500 ସୀମାରେ ପ୍ରତି ପୂର୍ଣ୍ଣ କ୍ରମରେ 0.0183 × 630 = $11.5 ଆଉ $5,000ରେ 0.0025 × 5,110 = $12.8; ଗୋଲାକାର ତ୍ରୁଟି ଭିତରେ ଏହା ସେହି ସମାନ ସଂଖ୍ୟା, ଆଉ ଏହା ହେଉଛି ପୂର୍ଣ୍ଣ କ୍ରମର ପ୍ରତ୍ୟାଶିତ କ୍ଷତିଗଣିତପ୍ରତ୍ୟାଶିତ କ୍ଷତିପ୍ରତ୍ୟାଶିତ ମୂଲ୍ୟକୁ ମୋଟ ବାଜି ଲଗାଯାଇଥିବା ରାଶି ସହ ଗୁଣନ; ଗୋଟିଏ ସେସନ କିମ୍ବା ଅବଧିରେ ହାରାହାରି ହାରୁଥିବା ରାଶି।ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ପଢ଼ନ୍ତୁ → ସହ ଜିତୁଥିବା ପୂର୍ଣ୍ଣ କ୍ରମଗୁଡ଼ିକ ରୋଜଗାର କରୁଥିବା $10।
ସମାଧାନ (e)
ନା। ପ୍ରତି ପୂର୍ଣ୍ଣ କ୍ରମରେ ପ୍ରତ୍ୟାଶିତ କ୍ଷତି = (ପୂର୍ଣ୍ଣ କ୍ରମରେ ପ୍ରତ୍ୟାଶିତ ମୋଟ ବାଜି ରାଶି) / 37, ଯେକୌଣସି ସୀମାରେ, କାରଣ ପ୍ରତ୍ୟେକ ବାଜି ନିଜର −1/37। ସୀମା କେବଳ ସ୍ଥିର କରେ କ୍ଷତି ଅନେକ ଛୋଟ ଜିତ ଓ କେତେକ ବଡ଼ ହାର ମଧ୍ୟରେ କିପରି ବଣ୍ଟା ହେବ। ସୀମା ବିନା ଓ ଅସୀମ ଖେଳ ପାଣ୍ଠିଟଙ୍କାଖେଳ ପାଣ୍ଠିଖେଳ ପାଇଁ ଅଲଗା ରଖାଯାଇଥିବା ମୋଟ ରାଶି। ଖେଳ ପାଣ୍ଠି ପରିଚାଳନା ଅର୍ଥ ପ୍ରତି ବାଜି ଓ ପ୍ରତି ସେସନରେ ଏଥିରୁ କେତେ ବିପଦରେ ପକାଇବେ ତାହା ସ୍ଥିର କରିବା।ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ପଢ଼ନ୍ତୁ → ସହ ବାଜି ବଦଳ କ୍ରମ “କାମ କରନ୍ତା”, ଏହି ଅର୍ଥରେ ଯେ ଏହା କେବେ ଭାଙ୍ଗନ୍ତା ନାହିଁ, ଆଉ ଏହା ଏକ ଅସୀମ ରାଶି ବି ଲଗାନ୍ତା ଯାହାର ପ୍ରତ୍ୟାଶିତ କ୍ଷତି ସେହି ଅସୀମ ରାଶିର 2.70%। MartingaleକୌଶଳMartingaleପ୍ରତ୍ୟେକ ହାର ପରେ ବାଜିକୁ ଦୁଇଗୁଣ କରୁଥିବା ବାଜି ବଦଳ କ୍ରମ। ଏହା କ'ଣ କରେ ଓ କ'ଣ କରେ ନାହିଁ, କୌଶଳ ବିଭାଗରେ ଦେଖନ୍ତୁ।ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ପଢ଼ନ୍ତୁ →କୁ କାମ କରିବାରୁ ଟେବୁଲ ସୀମାଟେବୁଲଟେବୁଲ ସୀମାଅନୁମତିପ୍ରାପ୍ତ ସର୍ବନିମ୍ନ ଓ ସର୍ବାଧିକ ବାଜି। ସର୍ବାଧିକ ସୀମା ହିଁ ଦୁଇଗୁଣ କରୁଥିବା ବାଜି ବଦଳ କ୍ରମକୁ ଅଟକାଏ।ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ପଢ଼ନ୍ତୁ → ଅଟକାଏ ନାହିଁ। ହିସାବ ଅଟକାଏ।
ଦୁଇଟି ପ୍ରକୃତ ଟେବୁଲ
ଥର୍ପଙ୍କ ଉଦାହରଣ ହେଉଛି $1,000 ସର୍ବାଧିକ ସୀମା ଥିବା $1 ଟେବୁଲ, ଯେଉଁଠି ଜଣେ ଖେଳାଳି ଥରକୁ ଡଲାରେ କରି ରାତି ଖାଇବା ପାଇଁ $30 ଜିତିବାକୁ ଆଶା କରନ୍ତି। 1, 2, 4 … 512 ବାଜି ରାଶି ଦଶଟି ବାଜିକୁ ଅନୁମତି ଦିଏ, ତେଣୁ ଲଗାତାର ଦଶଟି ହାର ବାଜି ବଦଳ କ୍ରମକୁ ଭାଙ୍ଗେ: ୟୁରୋପୀୟ ଚକରେ 785 ପୂର୍ଣ୍ଣ କ୍ରମରେ ଥରେ (ଆମେରିକୀୟରେ 613ରେ ଥରେ), $1,023 ଖର୍ଚ୍ଚରେ। ତିରିଶଟି ପୂର୍ଣ୍ଣ କ୍ରମ 96.2% ଥର ସବୁ ସଫଳ ହୁଏ। ବାକି 3.8% ପ୍ରାୟ $1,000 ହାରେ, ଆଉ ସନ୍ଧ୍ୟାର ହାରାହାରି ଫଳାଫଳ −$9.17, ଯାହା ତିରିଶଟି ପୂର୍ଣ୍ଣ କ୍ରମ ହାରାହାରି ଲଗାଉଥିବା $339ର ଠିକ୍ 1/37। $2,000 ସର୍ବାଧିକ ସୀମା ଥିବା $5 ଟେବୁଲ ଅଲଗା ନୁହେଁ: $1,280 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ବାଜି ରାଶି ନଅଟି ବାଜିକୁ ଅନୁମତି ଦିଏ, ଆଉ ଭାଙ୍ଗିବା ୟୁରୋପୀୟ ଚକରେ 403 ପୂର୍ଣ୍ଣ କ୍ରମରେ ଥରେ (ଆମେରିକୀୟରେ 323ରେ ଥରେ) ଆସେ ଓ $2,555 ଖର୍ଚ୍ଚ ହୁଏ।
ଜଣେ ଧନୀ ଖେଳାଳି
ବାଜି ବଦଳ କ୍ରମକୁ ନିମ୍ନ ସୀମା ବଦଳରେ ଏକ ଗଭୀର ଖେଳ ପାଣ୍ଠି ଦିଅନ୍ତୁ: 1,000 ଏକକ, ଏକ-ଏକକ ଆଧାର ଓ ଲାଲରେ 1,000 ଘୂର୍ଣ୍ଣନ, ଯେତେବେଳେ ପରବର୍ତ୍ତୀ ଦୁଇଗୁଣ ବାକି ଥିବା ରାଶିଠାରୁ ଅଧିକ ହୁଏ ସେତେବେଳେ ପୁଣି ଏକ ଏକକରୁ ଆରମ୍ଭ। ଆମେ ଏପରି ଦଶ ଲକ୍ଷ ସନ୍ଧ୍ୟା ସିମୁଲେଟ୍ କଲୁ। ୟୁରୋପୀୟ ଚକରେ 52% ଲାଭରେ ଶେଷ ହୁଏ, 21% ସବୁ ହାରେ, ଆଉ ହାରାହାରି ଫଳାଫଳ −124 ଏକକ। ଶୂନଚକଶୂନଗୋଟିଏ ମାତ୍ର ସବୁଜ ଖୋପ ଯାହାକୁ କୌଣସି ସମାନ ଦେୟ, ଡଜନ କିମ୍ବା ସ୍ତମ୍ଭ ବାଜି ଢାଙ୍କେ ନାହିଁ; କାସିନୋର ଗାଣିତିକ ସୁବିଧାର ଉତ୍ସ। ଅନ୍ୟ ନାମ: ଏକ ଶୂନ, 0।ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ପଢ଼ନ୍ତୁ → ନଥିବା ଖେଳରେ ବି, ଯେଉଁଠି ପ୍ରତ୍ୟେକ ବାଜି ନ୍ୟାୟସଙ୍ଗତ, କେବଳ ପ୍ରାୟ 60% ଲାଭରେ ଶେଷ ହୁଅନ୍ତା। ସାଧାରଣ ସନ୍ଧ୍ୟା ଏକ ଛୋଟ ଜିତ; ହାରାହାରିର ଦାମ ଶୂନରେ ଶେଷ ହେଉଥିବା ସନ୍ଧ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ଦିଅନ୍ତି।
ଶିକ୍ଷା
କାସିନୋଗୁଡ଼ିକ ପଦ୍ଧତିକୁ ହରାଇବା ପାଇଁ ନୁହେଁ, ନିଜ ପ୍ରସରଣଗଣିତପ୍ରସରଣପ୍ରତ୍ୟାଶିତ ମୂଲ୍ୟର ଚାରିପାଖେ ଫଳ କେତେ ବ୍ୟାପକ ଭାବେ ବିସ୍ତାରିତ ତାହାର ମାପ। ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟାର ବାଜିରେ ଅଧିକ, ସମାନ ଦେୟ ବାଜିରେ କମ୍।ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ପଢ଼ନ୍ତୁ →କୁ ସୀମିତ କରିବା ପାଇଁ ସୀମା ରଖନ୍ତି। Martingaleକୁ ହରାଇବା ଏକ ପାର୍ଶ୍ୱ ପ୍ରଭାବ ଯାହା ସେମାନେ ଖୁସିରେ ପାଆନ୍ତି, ଆଉ ହିସାବ ତାହାକୁ ଯେମିତି ବି ହରାଇଦିଅନ୍ତା। ସୀମାକୁ ସମସ୍ୟା ଭାବୁଥିବା ଖେଳାଳି ଖାଦଟିକୁ ଖୋଜିପାଇଛନ୍ତି ଓ ତାହାକୁ ଢାଲୁ ବୋଲି ଭୁଲ ବୁଝିଛନ୍ତି।
ସୂତ୍ର
ପ୍ରଶ୍ନ
ଏହା ଆପଣଙ୍କୁ ଉଚ୍ଚ ସୀମା ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ବଞ୍ଚିବାକୁ ଦିଏ, ଯେଉଁଠି ଭାଙ୍ଗିବା ବିରଳ ଓ ବଡ଼। ପ୍ରତି ଡଲାରରେ ପ୍ରତ୍ୟାଶିତ କ୍ଷତି ଅପରିବର୍ତ୍ତିତ।
ବାଜି ରାଶି 10, 30, 70, 150, 310: ପାଞ୍ଚଟି ହାର ପରେ $500 ସୀମା ଲାଗେ, ଆଉ ଭାଙ୍ଗିବାର ଖର୍ଚ୍ଚ $570। ସେହି ସମାନ 2.70%।
ଯେପରି ଜଣେ ଖେଳାଳି କାସିନୋର ସଂରକ୍ଷିତ ପାଣ୍ଠି ସହଜରେ ଦେଇପାରୁଥିବାଠାରୁ ଅଧିକ ବାଜି ଲଗାଇ ନପାରନ୍ତି। ପ୍ରସରଣ ପରିଚାଳନା।
ଗଣିତ ସହ ମଜା
ପ୍ରଥମେ ନିଜେ ଚେଷ୍ଟା କରନ୍ତୁ। ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମାଧାନ ଲୁଚା ହୋଇଛି; ପ୍ରସ୍ତୁତ ହେଲେ ଖୋଲନ୍ତୁ।
ଏକ MartingaleକୌଶଳMartingaleପ୍ରତ୍ୟେକ ହାର ପରେ ବାଜିକୁ ଦୁଇଗୁଣ କରୁଥିବା ବାଜି ବଦଳ କ୍ରମ। ଏହା କ'ଣ କରେ ଓ କ'ଣ କରେ ନାହିଁ, କୌଶଳ ବିଭାଗରେ ଦେଖନ୍ତୁ।ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ପଢ଼ନ୍ତୁ → ଲାଲବାଜିଲାଲ18ଟି ଲାଲ ସଂଖ୍ୟା ଉପରେ ସମାନ ଦେୟ ବାଜି। ଫରାସୀରେ: rouge।ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ପଢ଼ନ୍ତୁ →ରେ $100ରୁ ଆରମ୍ଭ ହୁଏ ଏବଂ ପ୍ରତି ପୂର୍ଣ୍ଣ କ୍ରମରେ ସର୍ବାଧିକ n ବାଜି ଅନୁମତି ଦିଏ: ଲଗାତାର n ହାର ପରେ ଏହା ଛାଡ଼ିଦିଏ ଏବଂ ପୁଣି ଆରମ୍ଭ କରେ। ଗୋଟିଏ ପୂର୍ଣ୍ଣ କ୍ରମର ହାରାହାରି ଫଳକୁ nରେ ଏକ ସୂତ୍ର ଭାବେ ଲେଖନ୍ତୁ, ଏବଂ ୟୁରୋପୀୟ ଚକରେ 5, 6 ଓ 7 ବାଜି ପାଇଁ ହିସାବ କରନ୍ତୁ।
ସମାଧାନ ଦେଖାନ୍ତୁ
ଉତ୍ତର ହାରାହାରି 100 × (1 − (38/37)ⁿ): 5 ବାଜି ପାଇଁ −$14.26, 6 ପାଇଁ −$17.35 ଏବଂ 7 ପାଇଁ −$20.52। ଅଧିକ ବାଜି ଅନୁମତି ଦେଲେ ହାରାହାରି ପୂର୍ଣ୍ଣ କ୍ରମ ଭଲ ନୁହେଁ, ଖରାପ ହୁଏ।
ସମସ୍ତ n ବାଜି ନ ହାରିଲେ ପୂର୍ଣ୍ଣ କ୍ରମ $100 ଜିତେ, ଯାହା qⁿ ସମ୍ଭାବନାରେ ହୁଏ, ଯେଉଁଠି q = 19/37। ସବୁ ହାରିଲେ, ବାଜି ରାଶି 100, 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ ଯୋଗ ହୋଇ 100 × (2ⁿ − 1) ହୁଏ। ତେଣୁ ହାରାହାରି 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ)।
ଏଠାରେ 2q = 38/37, 1ଠାରୁ ଟିକେ ଅଧିକ, ତେଣୁ (2q)ⁿ n ସହ ବଢ଼େ ଏବଂ ହାରାହାରି ଖସେ: n = 5 1.1426 ଓ −$14.26 ଦିଏ; n = 6 1.1735 ଓ −$17.35 ଦିଏ; n = 7 1.2052 ଓ −$20.52 ଦିଏ। ଲମ୍ବା ସିଡ଼ି କମ୍ ଥର ହାରେ, 3.6%, 1.8% ଓ 0.9% ପୂର୍ଣ୍ଣ କ୍ରମରେ, କିନ୍ତୁ ପ୍ରତ୍ୟେକ ହାର ଦୁଇ ଗୁଣ ବଡ଼, ଏବଂ ପ୍ରତି ପୂର୍ଣ୍ଣ କ୍ରମରେ ଅଧିକ ଅର୍ଥ ଟେବୁଲ ପାର କରେ, ପ୍ରତ୍ୟେକ ବାଜିର 2.70% ହାରରେ।
ଆମେରିକୀୟ ଚକରେ 2q = 40/38 ଏବଂ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ −$29.24, −$36.04 ଓ −$43.20 (Taylor, 2021)। ଶୂନଚକଶୂନଗୋଟିଏ ମାତ୍ର ସବୁଜ ଖୋପ ଯାହାକୁ କୌଣସି ସମାନ ଦେୟ, ଡଜନ କିମ୍ବା ସ୍ତମ୍ଭ ବାଜି ଢାଙ୍କେ ନାହିଁ; କାସିନୋର ଗାଣିତିକ ସୁବିଧାର ଉତ୍ସ। ଅନ୍ୟ ନାମ: ଏକ ଶୂନ, 0।ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ପଢ଼ନ୍ତୁ → ନଥିବା ଖେଳରେ 2q = 1, ଏବଂ ସିଡ଼ି ଯେତେ ଲମ୍ବା ହେଉ, ପ୍ରତ୍ୟେକ ପୂର୍ଣ୍ଣ କ୍ରମର ହାରାହାରି ଠିକ୍ ଶୂନ।
“grand Martingale” ହାର ପରେ ବାଜି ରାଶି ଦୁଇ ଗୁଣ କରି ଗୋଟିଏ ଏକକଟଙ୍କାଏକକଗୋଟିଏ ପଦ୍ଧତି କିମ୍ବା ଖେଳାଳି ଯେଉଁ ମୂଳ ବାଜି ରାଶିରେ କାମ କରନ୍ତି। ବାଜି ବଦଳ କ୍ରମକୁ ଏକକରେ ବର୍ଣ୍ଣନା କରାଯାଏ ଯାହାଫଳରେ ତାହା ଯେକୌଣସି ଟେବୁଲରେ ଲାଗୁ ହୁଏ।ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ପଢ଼ନ୍ତୁ → ଯୋଡ଼େ, ତେଣୁ ବାଜି ରାଶି 1, 3, 7, 15, 31 … ଚାଲେ। ପ୍ରଥମ ଜିତ 1ମ, 2ୟ, 3ୟ ବା kତମ ବାଜିରେ ଆସିଲେ ଆପଣ କେତେ ଲାଭରେ? $10 ଏକକ ଓ $500 ସର୍ବାଧିକରେ, ପୂର୍ଣ୍ଣ କ୍ରମ କେତେ ଥର ଭାଙ୍ଗେ, ଏବଂ ଗୋଟିଏ ପୂର୍ଣ୍ଣ କ୍ରମର ହାରାହାରି ଖର୍ଚ୍ଚ କେତେ?
ସମାଧାନ ଦେଖାନ୍ତୁ
ଉତ୍ତର kତମ ବାଜିରେ ଜିତିଲେ ଆପଣ k ଏକକ ଲାଭରେ: +1, +2, +3 ଇତ୍ୟାଦି। $10 ଓ $500ରେ ପାଞ୍ଚ ହାର ପରେ ପୂର୍ଣ୍ଣ କ୍ରମ ଭାଙ୍ଗେ, 3.57% ପୂର୍ଣ୍ଣ କ୍ରମରେ, −$570 ପାଇଁ। ହାରାହାରି ଗୋଟିଏ ପୂର୍ଣ୍ଣ କ୍ରମ $85.73 ଲଗାଇ $2.32 ହାରେ: 2.70%।
kତମ ବାଜି ରାଶି 2ᵏ − 1 ଏକକ: 1, 3, 7, 15, 31। ପ୍ରଥମ k − 1 ବାଜି ରାଶି ଯୋଗ ହୋଇ 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1 ହୁଏ। kତମ ବାଜିରେ ଜିତ 2ᵏ − 1 ଦିଏ, ତେଣୁ ପୂର୍ଣ୍ଣ କ୍ରମ (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k ଏକକ ଲାଭରେ ଶେଷ ହୁଏ: ଜିତ ପୂର୍ବର ପ୍ରତ୍ୟେକ ହାର ପାଇଁ ଗୋଟିଏ ଅତିରିକ୍ତ ଏକକ।
ଏକକ ପିଛା $10ରେ ବାଜି ରାଶି $10, $30, $70, $150 ଓ $310; ପରବର୍ତ୍ତୀ, $630, $500 ସର୍ବାଧିକଠାରୁ ଅଧିକ। ଲଗାତାର ପାଞ୍ଚ ହାର, (19/37)⁵ = 3.57%, 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570 ଖର୍ଚ୍ଚ କରେ।
ହାରାହାରି: k = 1 ରୁ 5 ପାଇଁ ଜିତ (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 ସମ୍ଭାବନାରେ $10 × k ଆଣେ, ଏବଂ ଭାଙ୍ଗିବା 3.57% ସମ୍ଭାବନାରେ $570 ନିଏ; ଏକାଠି −$2.32। ଲଗାଯାଇଥିବା ଅର୍ଥ ପୂର୍ଣ୍ଣ କ୍ରମ ପିଛା ହାରାହାରି $85.73, ଏବଂ 2.32/85.73 = 2.70%। ସେହି ଟେବୁଲରେ ସାଧାରଣ Martingale ଛଅ ହାର ପରେ ଭାଙ୍ଗେ, 1.83% ପୂର୍ଣ୍ଣ କ୍ରମରେ, −$630 ପାଇଁ, ଏବଂ $64.20 ଲଗାଇ $1.74 ହାରେ: ପୁଣି 2.70%।
ଜଣେ ଖେଳାଳି $1,000 ସୀମା ଥିବା ଟେବୁଲରେ $1 ପ୍ରଥମ ବାଜି ସହ ଲାଲରେ Martingale ଯୋଜନା କରନ୍ତି, ତେଣୁ ଦଶଟି ବାଜି ସମ୍ଭବ: $1, $2, $4 ଇତ୍ୟାଦି $512 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ। ଗୋଟିଏ ପୂର୍ଣ୍ଣ କ୍ରମ କେତେ ଥର ସମସ୍ତ ଦଶଟି ହାରେ, ତାହା ହେବାକୁ ହାରାହାରି କେତେ ସମୟ ଲାଗେ, ଏବଂ 200 ବାଜିର ଏକ ସନ୍ଧ୍ୟା କେତେ ଥର ସେହିପରି ଶେଷ ହୁଏ?
ସମାଧାନ ଦେଖାନ୍ତୁ
ଉତ୍ତର ଗୋଟିଏ ପୂର୍ଣ୍ଣ କ୍ରମ ପ୍ରାୟ 784ରେ ଥରେ ସମସ୍ତ ଦଶଟି ହାରେ, ଯାହା $1,023 ଖର୍ଚ୍ଚ କରେ। ତାହା ହାରାହାରି ପ୍ରାୟ 1,600 ବାଜି, ଏବଂ 200 ବାଜିର ଏକ ସନ୍ଧ୍ୟା ପ୍ରାୟ 11% ସମୟ କାନ୍ଥରେ ବାଜେ। ଗୋଟିଏ ପୂର୍ଣ୍ଣ କ୍ରମ ତଥାପି $11.31 ଲଗାଇ ହାରାହାରି $0.31 ହାରେ: 2.70%।
ଲାଲ ଉପରେ ବାଜି ଶୂନ ସମେତ 19/37 ସମ୍ଭାବନାରେ ହାରେ। ଲଗାତାର ଦଶ: (19/37)¹⁰ ≈ 0.00128, ପ୍ରାୟ 784ରେ 1। ବାଜି ରାଶି 1 + 2 + 4 + … + 512 ଯୋଗ ହୋଇ $1,023 ହୁଏ।
ଗୋଟିଏ ପୂର୍ଣ୍ଣ କ୍ରମ ହାରାହାରି 2.05 ବାଜି ନିଏ, ତେଣୁ 784 ପୂର୍ଣ୍ଣ କ୍ରମ ପ୍ରାୟ 1,600 ବାଜି ନିଏ। ଘୂର୍ଣ୍ଣନ ପରେ ଘୂର୍ଣ୍ଣନ ଗଣିଲେ, 200 ବାଜିରେ କେଉଁଠି ନା କେଉଁଠି ଦଶ ହାରର ଧାରା 11.3% ସମୟ ଦେଖାଦିଏ।
ବିପର୍ଯ୍ୟୟ ମଝିରେ ଖେଳାଳି ପୂର୍ଣ୍ଣ କ୍ରମ ପିଛା $1 ଜିତନ୍ତି: ଖରାପଟି ପୂର୍ବରୁ ପ୍ରାୟ $783, ତା'ପରେ −$1,023, ପୂରା ସମୟରେ ପ୍ରାୟ −$240। ପୂର୍ଣ୍ଣ କ୍ରମ ପିଛା: 1 × (1 − 0.00128) − 1,023 × 0.00128 ≈ −$0.31। ପୂର୍ଣ୍ଣ କ୍ରମ ପିଛା ଲଗାଯାଇଥିବା ଅର୍ଥ: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11.31। ଏବଂ −0.31/11.31 = −2.70%।
$500 ସୀମାରେ $10 ପ୍ରଥମ ବାଜି, ଛଅ ବାଜି ସହ ତୁଳନା କରନ୍ତୁ: କାନ୍ଥ 55 ପୂର୍ଣ୍ଣ କ୍ରମରେ ଥରେ ଆସେ, ଏବଂ 200 ବାଜିର ଏକ ସନ୍ଧ୍ୟା 84% ସମୟ ଏହାର ସମ୍ମୁଖୀନ ହୁଏ। ଉଚ୍ଚ ସୀମା ପତନକୁ ବିରଳ ଓ ବଡ଼ କରେ, ଶସ୍ତା ନୁହେଁ।
ହାସ୍ୟ ବିରତି
ପ୍ରତ୍ୟେକ ସୀମାରେ ବିରଳ ଓ ବଡ଼। ଗୁଣଫଳ ସ୍ଥିର।
ଉତ୍ସ
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.