ପ୍ରଶ୍ନ: ଜନ୍ମଦିନର ଚକ
କୌଣସି ସଂଖ୍ୟା ପୁଣି ଆସିବା ପୂର୍ବରୁ କେତେ ଘୂର୍ଣ୍ଣନ? ଅଧିକାଂଶ ଲୋକଙ୍କ ଅନୁମାନଠାରୁ ବହୁତ କମ୍।
37-ଖୋପଉପକରଣଖୋପରୋଟରରେ ଥିବା 37ଟି ସଂଖ୍ୟାଯୁକ୍ତ କକ୍ଷ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ। ଅନ୍ୟ ନାମ: slot, cup।ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ପଢ଼ନ୍ତୁ → ଚକରେ ଜନ୍ମଦିନ ସମସ୍ୟା: ମାତ୍ର 8 ଘୂର୍ଣ୍ଣନ ପରେ ଅଧାଅଧିଠାରୁ ଅଧିକ ସମ୍ଭାବନା ଅଛି ଯେ କୌଣସି ସଂଖ୍ୟା ଆଗରୁ ଦୁଇଥର ଆସିସାରିଛି। ଖେଳାଳିମାନେ ପୁନରାବୃତ୍ତିକୁ ଢାଞ୍ଚା ଭାବେ ପଢ଼ନ୍ତି; ସେଗୁଡ଼ିକ ନିରପେକ୍ଷ ଚକର ପ୍ରତ୍ୟାଶିତ ଆଚରଣ।
ସମସ୍ୟାଟି
ଏକ ନିରପେକ୍ଷ ୟୁରୋପୀୟ ଚକ ଘୂରାନ୍ତୁ। ଅନ୍ତତଃ ଦୁଇଟି ଘୂର୍ଣ୍ଣନରେ ସମାନ ସଂଖ୍ୟା ଆସିବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତାଗଣିତସମ୍ଭାବ୍ୟତାଗୋଟିଏ ଫଳର ସମ୍ଭାବନା, 0ରୁ 1 କିମ୍ବା 0%ରୁ 100%। ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା: 1/37 = 2.70%।ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ପଢ଼ନ୍ତୁ → ଅଧାରୁ ଅଧିକ ହେବାକୁ କେତେ ଘୂର୍ଣ୍ଣନ ଲାଗିବ? ଅଧିକାଂଶ ଖେଳାଳି 37ର ଅଧା, ପ୍ରାୟ 18 କିମ୍ବା 19 ଅନୁମାନ କରନ୍ତି। ଉତ୍ତର 8।
ସମାଧାନ
ପୁନରାବୃତ୍ତି ନ ହେବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ହିସାବ କରି ଏକରୁ ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ। k ଘୂର୍ଣ୍ଣନ ପରେ, p(ସବୁ ଅଲଗା) = (37/37)(36/37)(35/37)…((38 − k)/37)। k = 8 ପାଇଁ: 1 × 0.973 × 0.946 × 0.919 × 0.892 × 0.865 × 0.838 × 0.811 ≈ 0.44, ତେଣୁ p(କୌଣସି ପୁନରାବୃତ୍ତି) ≈ 0.56। k = 14 ପାଇଁ ଏହା 0.93; k = 20 ପାଇଁ 0.996। ଅନ୍ତର୍ଜ୍ଞାନ ବିଫଳ ହୁଏ କାରଣ ଘୂର୍ଣ୍ଣନ ଯୋଡ଼ିର ସଂଖ୍ୟା k² ପରି ବଢ଼େ, ଆଉ ଯେକୌଣସି ଯୋଡ଼ି ମେଳ ଖାଇପାରେ।
ଟେବୁଲରେ ଏହା କାହିଁକି ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ
ଶେଷ 20ଟି ସଂଖ୍ୟାର ଫଳାଫଳ ବୋର୍ଡ ପ୍ରାୟ ସବୁବେଳେ ଅନ୍ତତଃ ଗୋଟିଏ ପୁନରାବୃତ୍ତି ଦେଖାଏ, ପ୍ରାୟତଃ ଦୁଇଟି କିମ୍ବା ତିନୋଟି। ଖେଳାଳିମାନେ “ଦଶ ଘୂର୍ଣ୍ଣନରେ 17 ଦୁଇଥର ଆସିଲା” ଦେଖି 17 ଗରମ ବୋଲି ସିଦ୍ଧାନ୍ତ କରନ୍ତି; ଜନ୍ମଦିନ ହିସାବ କହେ ଦଶ ଘୂର୍ଣ୍ଣନ ଭିତରେ ପୁନରାବୃତ୍ତି 74% ଥର ଘଟେ ଆଉ ପୁନରାବୃତ୍ତ ସଂଖ୍ୟାଟି ଯାଦୃଚ୍ଛିକ। ଢାଞ୍ଚାଟି ପ୍ରକୃତ; ଅର୍ଥଟି ନୁହେଁ।
ପରବର୍ତ୍ତୀ ସମସ୍ୟା
ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା, ଧରନ୍ତୁ 17, ଦୁଇଥର ଆସିବାକୁ କେତେ ଘୂର୍ଣ୍ଣନ ଲାଗିବ? ତାହା ବହୁତ ବଡ଼ ଉତ୍ତର ଥିବା ଏକ ଅଲଗା ପ୍ରଶ୍ନ: ପ୍ରତ୍ୟାଶିତ ଅପେକ୍ଷା 74 ଘୂର୍ଣ୍ଣନ, ଆଉ 20 ଘୂର୍ଣ୍ଣନ ଭିତରେ ଦୁଇଟି 17ର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ପ୍ରାୟ 10%। “କୌଣସି ସଂଖ୍ୟା ପୁନରାବୃତ୍ତ ହୁଏ” (8 ଘୂର୍ଣ୍ଣନ) ଓ “ଏହି ସଂଖ୍ୟା ପୁନରାବୃତ୍ତ ହୁଏ” (74 ଘୂର୍ଣ୍ଣନ) ମଧ୍ୟରେ ପାର୍ଥକ୍ୟ ହିଁ ପରେ ଲକ୍ଷ୍ୟ କରୁଥିବା ଢାଞ୍ଚା ଓ ଆଗରୁ କରୁଥିବା ପୂର୍ବାନୁମାନ ମଧ୍ୟରେ ପୂରା ପାର୍ଥକ୍ୟ।
ଚେଷ୍ଟା କରନ୍ତୁ
ଡେମୋ ଖେଳକୁ ଦଶ ଘୂର୍ଣ୍ଣନ ଚଳାନ୍ତୁ ଆଉ ଇତିହାସ ଦେଖନ୍ତୁ। ସାଧାରଣତଃ ଗୋଟିଏ ପୁନରାବୃତ୍ତି ଥିବ। ପୁଣି ଚଳାନ୍ତୁ। ପୁନରାବୃତ୍ତ ସଂଖ୍ୟାଟି ଅଲଗା ହେବ। ଏହା ଦଶ ଥର କରନ୍ତୁ, ଆପଣ ଜନ୍ମଦିନ ସମସ୍ୟାଗଣିତଜନ୍ମଦିନ ସମସ୍ୟାଦୁଇ ଜଣଙ୍କର ଜନ୍ମଦିନ ସମ୍ଭବତଃ ଏକା ହେବା ପାଇଁ କେତେ ଲୋକ ଦରକାର, କିମ୍ବା ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା ସମ୍ଭବତଃ ପୁନରାବୃତ୍ତି ହେବା ପାଇଁ କେତେ ଘୂର୍ଣ୍ଣନ ଦରକାର। 37 ଖୋପର ଚକରେ ଅଧାରୁ ଅଧିକ ସମ୍ଭାବନା ପାଇଁ 8ଟି ଘୂର୍ଣ୍ଣନ ଯଥେଷ୍ଟ।ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ପଢ଼ନ୍ତୁ → ଦେଖିସାରିବେ; ହଜାର ଥର କରନ୍ତୁ (ସିମୁଲେଟରଗୁଡ଼ିକ ପାରନ୍ତି), ଆପଣ ତାହା ମାପିସାରିବେ।
ସୂତ୍ର
ପ୍ରଶ୍ନ
ଠିକ୍ ସେଇଆ, 365 ଦିନ ବଦଳରେ 37ଟି ଖୋପ ସହ। ଜନ୍ମଦିନ ପାଇଁ 23 ଜଣ ଲୋକ 50% ଦିଅନ୍ତି; ଚକ ପାଇଁ 8 ଘୂର୍ଣ୍ଣନ 56% ଦିଏ।
ପ୍ରାୟ 19 ଘୂର୍ଣ୍ଣନ ପରେ 50%। ତଥାପି ସାଧାରଣ କଥା।
ନା। ଗୋଟିଏ ଚକରୁ ହଜାର ହଜାର ଘୂର୍ଣ୍ଣନ ଦେଇପାରେ; ଗୋଟିଏ ପୁନରାବୃତ୍ତି କେବେ ଦିଏ ନାହିଁ।
ଗଣିତ ସହ ମଜା
ପ୍ରଥମେ ନିଜେ ଚେଷ୍ଟା କରନ୍ତୁ। ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମାଧାନ ଲୁଚା ହୋଇଛି; ପ୍ରସ୍ତୁତ ହେଲେ ଖୋଲନ୍ତୁ।
ଏକ ଆମେରିକୀୟ ଚକ ପାଖରେ ଥିବା ଫଳ ବୋର୍ଡ ଶେଷ 16ଟି ଘୂର୍ଣ୍ଣନ ଦେଖାଏ। ଏଥିରେ କୌଣସି ସଂଖ୍ୟା ଦୁଇ ଥର ନଦେଖାଯିବାର ସମ୍ଭାବନା କେତେ?
ସମାଧାନ ଦେଖାନ୍ତୁ
ଉତ୍ତର ପ୍ରାୟ 2.5%: ମୋଟାମୋଟି 40ଟି ବୋର୍ଡରୁ 39ଟିରେ ଅନ୍ତତଃ ଗୋଟିଏ ପୁନରାବୃତ୍ତି ଦେଖାଯାଏ।
ଘୂର୍ଣ୍ଣନ ପରେ ଘୂର୍ଣ୍ଣନ ଯାଆନ୍ତୁ। ପ୍ରଥମ ଘୂର୍ଣ୍ଣନ ଯାହା ବି ହୋଇପାରେ। ଦ୍ୱିତୀୟଟି ତାହାକୁ ଏଡ଼ାଇବା ଆବଶ୍ୟକ: 38ରେ 37 ସମ୍ଭାବନା। ତୃତୀୟଟି ଦୁଇଟିଯାକକୁ ଏଡ଼ାଇବା ଆବଶ୍ୟକ: 38ରେ 36। ଷୋହଳତମଟି ପନ୍ଦରଟି ସଂଖ୍ୟା ଏଡ଼ାଇବା ଆବଶ୍ୟକ: 38ରେ 23।
ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ: 38/38 × 37/38 × 36/38 × … × 23/38 ≈ 0.0246।
ପୁନରାବୃତ୍ତି ନଥିବା ବୋର୍ଡ ହିଁ ବିରଳ। ପୁନରାବୃତ୍ତି ଥିବା ବୋର୍ଡ ଚକ ବିଷୟରେ କିଛି କହେ ନାହିଁ।
ୟୁରୋପୀୟ ଚକର ଦଶଟି ଘୂର୍ଣ୍ଣନରେ, 17 ଠିକ୍ ପାଞ୍ଚ ଥର ଆସିବାର ସମ୍ଭାବନା କେତେ? କୌଣସି ସଂଖ୍ୟା, ଯେକୌଣସି ସଂଖ୍ୟା, ପାଞ୍ଚ ବା ଅଧିକ ଥର ଆସିବାର? ଏବଂ ଚାରିଟି ଘୂର୍ଣ୍ଣନରେ କୌଣସି ସଂଖ୍ୟା ଅନ୍ତତଃ ତିନି ଥର ଆସିବାର?
ସମାଧାନ ଦେଖାନ୍ତୁ
ଉତ୍ତର 17 ଠିକ୍ ପାଞ୍ଚ ଥର: 3,15,576ରେ 1। କୌଣସି ସଂଖ୍ୟା ପାଞ୍ଚ ବା ଅଧିକ ଥର: ପ୍ରାୟ 8,333ରେ 1। ଚାରିଟି ଘୂର୍ଣ୍ଣନରେ କୌଣସି ସଂଖ୍ୟା ତିନି ବା ଅଧିକ ଥର: 349ରେ 1।
17 ପାଞ୍ଚ ଥର: ଦଶଟି ଘୂର୍ଣ୍ଣନରୁ କେଉଁ ପାଞ୍ଚଟି ବାଛନ୍ତୁ, 252 ଉପାୟ, ପ୍ରତ୍ୟେକର ସମ୍ଭାବନା (1/37)⁵ × (36/37)⁵। ଏକାଠି, 3,15,576ରେ 1।
କୌଣସି ସଂଖ୍ୟା: 37ଟି ସଂଖ୍ୟାର ପ୍ରତ୍ୟେକର ପାଞ୍ଚ ବା ଅଧିକ ହିଟର ସମ୍ଭାବନା 3,08,325ରେ 1, ଯାହା 3,08,325ରେ 37, ଅର୍ଥାତ୍ 8,333ରେ 1 ଦିଏ। ପ୍ରତ୍ୟେକରେ ପାଞ୍ଚଟି ହିଟ୍ ଥିବା ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟାର ବିରଳ ଘଟଣା ଦୁଇ ଥର ଗଣାଯାଏ, କିନ୍ତୁ ଏହି ସଠିକତାରେ ତାହା ବାଦ୍ ଦେଲେ କିଛି ବଦଳେ ନାହିଁ।
ଚାରିଟି ଘୂର୍ଣ୍ଣନରେ ତିନି ଥର: ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା ପାଇଁ, 37⁴ ସମ୍ଭାବ୍ୟ ଫଳରୁ 4 × 36 + 1 = 145; 37ଟି ସଂଖ୍ୟାର ଯେକୌଣସି ପାଇଁ, 145/37³ = 349ରେ 1।
ଦ୍ୱୈତ-ଶୂନଚକଶୂନଗୋଟିଏ ମାତ୍ର ସବୁଜ ଖୋପ ଯାହାକୁ କୌଣସି ସମାନ ଦେୟ, ଡଜନ କିମ୍ବା ସ୍ତମ୍ଭ ବାଜି ଢାଙ୍କେ ନାହିଁ; କାସିନୋର ଗାଣିତିକ ସୁବିଧାର ଉତ୍ସ। ଅନ୍ୟ ନାମ: ଏକ ଶୂନ, 0।ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ପଢ଼ନ୍ତୁ → ଚକ ପାଇଁ ସମ୍ପୃକ୍ତ ସଂଖ୍ୟା 3,59,275ରେ 1, 9,243ରେ 1 ଓ 368ରେ 1। “17” ଓ “କୌଣସି ସଂଖ୍ୟା” ମଧ୍ୟରେ ବ୍ୟବଧାନ ପୁଣି ସେହି ଜନ୍ମଦିନ ସମସ୍ୟାଗଣିତଜନ୍ମଦିନ ସମସ୍ୟାଦୁଇ ଜଣଙ୍କର ଜନ୍ମଦିନ ସମ୍ଭବତଃ ଏକା ହେବା ପାଇଁ କେତେ ଲୋକ ଦରକାର, କିମ୍ବା ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା ସମ୍ଭବତଃ ପୁନରାବୃତ୍ତି ହେବା ପାଇଁ କେତେ ଘୂର୍ଣ୍ଣନ ଦରକାର। 37 ଖୋପର ଚକରେ ଅଧାରୁ ଅଧିକ ସମ୍ଭାବନା ପାଇଁ 8ଟି ଘୂର୍ଣ୍ଣନ ଯଥେଷ୍ଟ।ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ପଢ଼ନ୍ତୁ →: ଆଶ୍ଚର୍ଯ୍ୟ ହେବାର 37ଟି ଉପାୟ ଅଛି।
ହାସ୍ୟ ବିରତି
କିଛି ନା କିଛି ଶୀଘ୍ର ପୁନରାବୃତ୍ତ ହୁଏ। ସେହି କିଛିଟି ଯାଦୃଚ୍ଛିକ।
ଉତ୍ସ
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. “Ask the Wizard”, ରୁଲେଟ ପ୍ରଶ୍ନ।