Kelly ମାନଦଣ୍ଡ ଓ ରୁଲେଟ୍
Kelly ମାନଦଣ୍ଡ ସୁବିଧା ଥିବା ଜଣେ ବାଜି ଲଗାଳିଙ୍କୁ କହେ କେତେ ବାଜି ରାଶି ଲଗାଇବେ। ରୁଲେଟ ପାଇଁ ଏହା ସ୍ପଷ୍ଟ ଉତ୍ତର ଦିଏ: କିଛି ନୁହେଁ।
Kelly ବାଜି ରାଶି = ସୁବିଧା / ଅଡ୍ସ। ନକାରାତ୍ମକ ସୁବିଧା ସହ ସୂତ୍ରଟି ନକାରାତ୍ମକ ଭଗ୍ନାଂଶ ଦିଏ, ଯାହାର ଅର୍ଥ ବାଜି ଲଗାନ୍ତୁ ନାହିଁ। ପକ୍ଷପାତ ଖୋଜୁଥିବା ଖେଳାଳିମାନେ ସେମାନଙ୍କ ବାଜିର ଆକାର କାହିଁକି ସେପରି ସ୍ଥିର କରିଥିଲେ, ଆଉ ବାକି ସମସ୍ତେ କାହିଁକି ବଜେଟ ଅନୁସାରେ ଆକାର ସ୍ଥିର କରିବା ଉଚିତ, ତାହା ବୁଝିବା ପାଇଁ ମାନଦଣ୍ଡଟି ତଥାପି ଉପଯୋଗୀ।
ମାନଦଣ୍ଡଟି
ଜନ୍ କେଲି (1956) ପଚାରିଥିଲେ ଯେ ଜଣାଶୁଣା ସୁବିଧା ଥିବା ଜଣେ ଜୁଆଡ଼ି ଖେଳ ପାଣ୍ଠିଟଙ୍କାଖେଳ ପାଣ୍ଠିଖେଳ ପାଇଁ ଅଲଗା ରଖାଯାଇଥିବା ମୋଟ ରାଶି। ଖେଳ ପାଣ୍ଠି ପରିଚାଳନା ଅର୍ଥ ପ୍ରତି ବାଜି ଓ ପ୍ରତି ସେସନରେ ଏଥିରୁ କେତେ ବିପଦରେ ପକାଇବେ ତାହା ସ୍ଥିର କରିବା।ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ପଢ଼ନ୍ତୁ →ର ଦୀର୍ଘକାଳୀନ ବୃଦ୍ଧି ସର୍ବାଧିକ କରିବା ପାଇଁ ବାଜିର ଆକାର କିପରି ସ୍ଥିର କରିବା ଉଚିତ। ଜିତର ସମ୍ଭାବ୍ୟତାଗଣିତସମ୍ଭାବ୍ୟତାଗୋଟିଏ ଫଳର ସମ୍ଭାବନା, 0ରୁ 1 କିମ୍ବା 0%ରୁ 100%। ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା: 1/37 = 2.70%।ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ପଢ଼ନ୍ତୁ → p ଓ ହାରର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା q = 1 − p ସହ b ବିରୁଦ୍ଧ 1 ଦେୟ ଦେଉଥିବା ବାଜି ପାଇଁ ଉତ୍ତର ହେଲା ଖେଳ ପାଣ୍ଠିର f* = (bp − q) / b ଭଗ୍ନାଂଶ ଲଗାଇବା। ସକାରାତ୍ମକ f* ମାନେ ସେହି ଭଗ୍ନାଂଶ ଲଗାନ୍ତୁ; ଶୂନ କିମ୍ବା ନକାରାତ୍ମକ ମାନେ ଲଗାନ୍ତୁ ନାହିଁ। କେଲି Bell Labsରେ କାମ କରୁଥିଲେ, ଆଉ ତାଙ୍କ ପ୍ରବନ୍ଧ “A new interpretation of information rate” ସମସ୍ୟାଟିକୁ କ୍ଲଡ୍ ଶାନନଙ୍କ ସୂଚନା ତତ୍ତ୍ୱରେ ରଖିଥିଲା: ନ୍ୟାୟସଙ୍ଗତ ଅଡ୍ସରେ ଏକ ଗୋଳମାଳିଆ ଲାଇନରେ ସୂଚନା ପାଉଥିବା ଜୁଆଡ଼ି ବଡ଼ଜୋର ସେହି ଲାଇନ ବହନ କରୁଥିବା ସୂଚନା ହାରରେ ଖେଳ ପାଣ୍ଠି ବଢ଼ାଇପାରନ୍ତି। 1961ରେ ଲିଓ ବ୍ରେଇମ୍ୟାନ ପ୍ରମାଣ କଲେ ଯେ ଦୀର୍ଘ ସମୟରେ Kelly ବାଜି ମୌଳିକ ଭାବେ ଭିନ୍ନ ଯେକୌଣସି କୌଶଳଠାରୁ ଆଗରେ ରହେ ଓ ଏକ ସ୍ଥିର ଲକ୍ଷ୍ୟରେ ପ୍ରାୟ ସବୁଠାରୁ କମ୍ ସମୟରେ ପହଞ୍ଚେ।
ରୁଲେଟରେ Kelly ବାଜି
ଲାଲବାଜିଲାଲ18ଟି ଲାଲ ସଂଖ୍ୟା ଉପରେ ସମାନ ଦେୟ ବାଜି। ଫରାସୀରେ: rouge।ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ପଢ଼ନ୍ତୁ → ପାଇଁ: b = 1, p = 18/37, q = 19/37; f* = (18/37 − 19/37)/1 = −1/37। ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟାର ବାଜିବାଜିଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟାର ବାଜିଗୋଟିଏ ମାତ୍ର ସଂଖ୍ୟା, ଜିତର ଦେୟ 35:1।ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ପଢ଼ନ୍ତୁ → ପାଇଁ: b = 35, p = 1/37, q = 36/37; f* = (35/37 − 36/37)/35 = −1/1295। ପ୍ରତ୍ୟେକ ମାନକ ବାଜି ନକାରାତ୍ମକ Kelly ଭଗ୍ନାଂଶ ଦିଏ, କାରଣ ପ୍ରତ୍ୟେକ ବାଜିର ସୁବିଧା ନକାରାତ୍ମକ, ଆଉ ବୃଦ୍ଧି-ଶ୍ରେଷ୍ଠ ବାଜି ରାଶି ଶୂନ। ରୁଲେଟରେ Kelly ବାଜି ହେଉଛି କାସିନୋର ଗାଣିତିକ ସୁବିଧା ପୃଷ୍ଠା ଯାହା କହେ ତାହାକୁ ଔପଚାରିକ ଭାବେ କହିବାର ଏକ ଉପାୟ: ଏପରି କୌଣସି ଆକାର ନାହିଁ ଯେଉଁଥିରେ ନକାରାତ୍ମକ ପ୍ରତ୍ୟାଶାର ବାଜି ଖେଳ ପାଣ୍ଠି ବଢ଼ାଏ।
Kelly କେଉଁଠି ପ୍ରକୃତରେ ଲାଗୁ ହେଲା
ପକ୍ଷପାତ ଖୋଜୁଥିବା ଖେଳାଳିଙ୍କ ପାଖରେ ସୁବିଧା ଥିଲା ଓ ଆକାର ସ୍ଥିର କରିବାର ସମସ୍ୟା ଥିଲା। ଜାଗର, ଗାର୍ସିଆ-ପେଲାୟୋ ପରିବାର ଓ Eudaemons ସମସ୍ତଙ୍କୁ ସ୍ଥିର କରିବାକୁ ପଡ଼ିଥିଲା ଯେ ସେମାନଙ୍କ ମାପିଥିବା ସୁବିଧା ଉପରେ କେତେ ବାଜି ଲଗାଇବେ, ଆଉ କମ୍ ବାଜି ସୁବିଧାକୁ ନଷ୍ଟ କରେ ଯେତେବେଳେ ଅଧିକ ବାଜି ସୁବିଧା ଦେଖାଯିବା ପୂର୍ବରୁ ପାଣ୍ଠି ସରିଯିବାର ବିପଦ ଆଣେ। 30ରେ 1 ଥର ଲାଗୁଥିବା ଖୋପଉପକରଣଖୋପରୋଟରରେ ଥିବା 37ଟି ସଂଖ୍ୟାଯୁକ୍ତ କକ୍ଷ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ। ଅନ୍ୟ ନାମ: slot, cup।ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ପଢ଼ନ୍ତୁ → ପାଇଁ Kelly କହେ ସେହି ସଂଖ୍ୟାରେ ପ୍ରତି ଘୂର୍ଣ୍ଣନରେ ଖେଳ ପାଣ୍ଠିର 0.57%: $10,000 ସହ ଘୂର୍ଣ୍ଣନ ପିଛା ପ୍ରାୟ $57, ପ୍ରତି ଘୂର୍ଣ୍ଣନରେ ପ୍ରାୟ 0.054% ସାଧାରଣ ବୃଦ୍ଧି ପାଇଁ, କିମ୍ବା 1,000 ଘୂର୍ଣ୍ଣନରେ ×1.7। ହାରାହାରି ଲାଭ ତାହାର ଦୁଇଗୁଣ, ଘୂର୍ଣ୍ଣନ ପିଛା 0.11%, କିନ୍ତୁ Kelly ସାଧାରଣ ଖେଳ ପାଣ୍ଠିକୁ ଲକ୍ଷ୍ୟ କରେ, ହାରାହାରିକୁ ନୁହେଁ, ଯାହାକୁ କିଛି ଭାଗ୍ୟଶାଳୀ ଧାରା ଫୁଲାଇଦିଏ। ସୁବିଧାର ଆକଳନ ଅନିଶ୍ଚିତ ବୋଲି ଅଧା-Kelly ସାଧାରଣ ବ୍ୟାବହାରିକ ପସନ୍ଦ।
ସାଧାରଣ ଓ ହାରାହାରି
ସାଧାରଣ ଖେଳ ପାଣ୍ଠି ଓ ହାରାହାରି ଖେଳ ପାଣ୍ଠି ମଧ୍ୟରେ ବ୍ୟବଧାନ ଚଉଡ଼ା। 25ରେ 1 ଥର ଲାଗୁଥିବା ଗୋଟିଏ ଖୋପ ନିଅନ୍ତୁ, 44% ସୁବିଧା, ଯେଉଁ ସଂଖ୍ୟା ଥର୍ପ ତାଙ୍କ ଯନ୍ତ୍ର ପାଇଁ ଦିଅନ୍ତି। Kelly ସେଥିରେ ଖେଳ ପାଣ୍ଠିର 1.26% ଲଗାଏ। 1,000 ଘୂର୍ଣ୍ଣନ ପରେ ସାଧାରଣ ଖେଳ ପାଣ୍ଠି ପ୍ରାୟ 11.5 ଗୁଣ ବଢ଼ିଥାଏ, ଅଥଚ କିଛି ଅତି ଭାଗ୍ୟଶାଳୀ ଧାରା ଦ୍ୱାରା ଉପରକୁ ଟଣାଯାଇଥିବା ହାରାହାରି ପ୍ରାୟ 249 ଗୁଣ ବଢ଼ିଥାଏ। Kellyଠାରୁ ଅଧିକ ଲଗାଇଲେ ହାରାହାରି ବଢ଼େ ଓ ସାଧାରଣ ଫଳାଫଳ କମେ: Kelly ବାଜି ରାଶିର ଦୁଇଗୁଣରେ ସାଧାରଣ ଖେଳ ପାଣ୍ଠି କେବଳ ଦୁଇଗୁଣ ହୁଏ, ଆଉ Kelly ବାଜି ରାଶିର ଅଢ଼େଇ ଗୁଣରେ ଏହା ସଙ୍କୁଚିତ ହୁଏ, ଯଦିଓ ପ୍ରତ୍ୟେକ ବାଜିରେ ଏବେ ବି 44% ସୁବିଧା। କମ୍ ଲଗାଇଲେ କ୍ଷତି ଅଳ୍ପ: ଅଧା ବାଜି ରାଶି ବୃଦ୍ଧିର ପ୍ରାୟ ତିନି ଚତୁର୍ଥାଂଶ ରଖେ।
ଯେତେବେଳେ ସୁବିଧା ଗୋଟିଏ ଅନୁମାନ
Kelly ଧରିନିଏ ଯେ ସୁବିଧା ଜଣା। ଟେବୁଲରେ ଏହା ଆକଳନ କରାଯାଏ, ଆଉ ଆକଳନ ସାଧାରଣତଃ ଅତି ଅଧିକ। ଥର୍ପଙ୍କ 44% ଉପରେ ଗଢ଼ା ଏପଷ୍ଟାଇନଙ୍କ ଉଦାହରଣ ହେଉଛି ଏକ ସଂଖ୍ୟା ଯାହା ଦ୍ୱୈତ-ଶୂନଚକଶୂନଗୋଟିଏ ମାତ୍ର ସବୁଜ ଖୋପ ଯାହାକୁ କୌଣସି ସମାନ ଦେୟ, ଡଜନ କିମ୍ବା ସ୍ତମ୍ଭ ବାଜି ଢାଙ୍କେ ନାହିଁ; କାସିନୋର ଗାଣିତିକ ସୁବିଧାର ଉତ୍ସ। ଅନ୍ୟ ନାମ: ଏକ ଶୂନ, 0।ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ପଢ଼ନ୍ତୁ → ଚକର 1,225 ଘୂର୍ଣ୍ଣନରେ 49 ଥର ଲାଗିଥିଲା: 25ରେ 1 ଥର, 44% ସୁବିଧା, 1.26% Kelly ବାଜି ରାଶି। କିନ୍ତୁ ନିରପେକ୍ଷ ଦ୍ୱୈତ-ଶୂନ ଚକରେ 38ଟି ସଂଖ୍ୟା ଅଛି, ଆଉ ସେଥିରୁ ସବୁଠାରୁ ବ୍ୟସ୍ତଟି 1,225 ଘୂର୍ଣ୍ଣନରେ ପ୍ରାୟ ନଅ ଥରରେ ଥରେ 49 କିମ୍ବା ଅଧିକରେ ପହଞ୍ଚେ। ଯେକୌଣସି ରେକର୍ଡର ସବୁଠାରୁ ବ୍ୟସ୍ତ ସଂଖ୍ୟାକୁ ଭାଗ୍ୟ ମଧ୍ୟ ସବୁଠାରୁ ଅଧିକ ସାହାଯ୍ୟ କରିଛି, ତେଣୁ ପ୍ରକୃତରେ ପକ୍ଷପାତୀ ଖୋପ ବି ରେକର୍ଡରେ ତାହାର ପ୍ରକୃତ ଅବସ୍ଥାଠାରୁ ଭଲ ଦେଖାଯାଏ: ବିଜେତାଙ୍କ ଅଭିଶାପ। ଯଦି ସେହି ଖୋପ ପ୍ରକୃତରେ ପକ୍ଷପାତହୀନ, ତେବେ Kelly ବାଜି ରାଶି କେବଳ ଏକ ବାଜି ଯାହା ହାରାହାରି 5.26% ହାରେ। ସାଧାରଣ ଉତ୍ତର ହେଲା Kellyର ଏକ ଭଗ୍ନାଂଶ ଲଗାଇବା ଓ ସୁବିଧା ଏକ ନୂଆ ରେକର୍ଡରେ ଟିକି ନ ରହିବା ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଗଣିବା ଜାରି ରଖିବା (ରୁଲେଟ ଚକର ପକ୍ଷପାତ କିପରି ଧରିବେ ଦେଖନ୍ତୁ)।
ସୁବିଧା ଥିବା ଲୋକ
ସୁବିଧା ଜାଣିବା ଓ ତାହାକୁ ଭଲ ଭାବେ ବ୍ୟବହାର କରିବା ଏକା କଥା ନୁହେଁ। ହାଘାନି ଓ ଡିୱି (2016) 61 ଜଣଙ୍କୁ ପ୍ରତ୍ୟେକଙ୍କୁ $25 ଦେଇ ଅଧ ଘଣ୍ଟା ଏକ ମୁଦ୍ରା ଉପରେ ବାଜି ଲଗାଇବାକୁ କହିଥିଲେ, ଯାହା 60% ଥର ମୁଣ୍ଡ ପଡ଼େ ବୋଲି ସେମାନଙ୍କୁ କୁହାଯାଇଥିଲା, ଜିତ $250ରେ ସୀମିତ ଥିଲା (ଖେଳାଳିମାନେ ସେହି ସୀମାରେ ପହଞ୍ଚିଲେ ହିଁ ଏହା ଜାଣିଲେ)। Kelly କହେ ପ୍ରତି ଥର ମୁଣ୍ଡ ଉପରେ ଖେଳ ପାଣ୍ଠିର 20% ଲଗାନ୍ତୁ, ଆଉ ଲେଖକମାନେ ଆକଳନ କରନ୍ତି ଯେ 10–20%ର ସ୍ଥିର ବାଜି ପ୍ରାୟ 95% ଥର ସୀମାରେ ପହଞ୍ଚିବ। କେବଳ 21% ଖେଳାଳି ସେଠାରେ ପହଞ୍ଚିଲେ। 28% ସବୁ ହାରିଲେ, 61 ମଧ୍ୟରୁ 18 ଜଣ ଗୋଟିଏ ଟସରେ ସବୁକିଛି ଲଗାଇଲେ, ପ୍ରାୟ ଏକ ତୃତୀୟାଂଶ ଆରମ୍ଭର $25ଠାରୁ କମରେ ଶେଷ କଲେ, ଆଉ ହାରାହାରି ଜିତର ଦେୟଟଙ୍କାଜିତର ଦେୟଜିତିଥିବା ବାଜି ଯାହା ଫେରାଏ, ଫେରାଯାଉଥିବା ବାଜି ରାଶି ଉପରେ “X ବିରୁଦ୍ଧ 1” ଭାବେ କୁହାଯାଏ।ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ପଢ଼ନ୍ତୁ → $91 ଥିଲା। 61 ମଧ୍ୟରୁ କେବଳ ପାଞ୍ଚ ଜଣ Kelly ମାନଦଣ୍ଡ ବିଷୟରେ ଶୁଣିଥିଲେ। ସୁବିଧା ଥିଲେ ବାଜିର ଆକାର ସ୍ଥିର କରେ ଆପଣ ତାହା ରଖିପାରିବେ କି ନାହିଁ; ସୁବିଧା ନଥିଲେ, ଯେପରି ନିରପେକ୍ଷ ଚକରେ, କୌଣସି ଆକାର ସାହାଯ୍ୟ କରେ ନାହିଁ।
ତା’ ବଦଳରେ କ’ଣ ବ୍ୟବହାର କରିବେ
ସୁବିଧା ବିନା ଆକାର ସ୍ଥିର କରିବା ଏକ ବଜେଟ ପ୍ରଶ୍ନ, ବୃଦ୍ଧି ପ୍ରଶ୍ନ ନୁହେଁ: ବାଜି ରାଶି = ଆପଣ ପ୍ରତି ଘୂର୍ଣ୍ଣନରେ ଯେତିକି ଖର୍ଚ୍ଚ କରିବାକୁ ରାଜି, ଘଣ୍ଟା ପିଛା ବଜେଟ ଓ ଟେବୁଲର ଗତିରୁ ବାହାର କରାଯାଇଥିବା (ଖେଳ ପାଣ୍ଠି ପରିଚାଳନା ପୃଷ୍ଠା)। ସାଧାରଣ ଖେଳାଳିଙ୍କ ପାଇଁ Kellyର ଅବଦାନ ହେଉଛି ଏହାର ଉତ୍ତରର ସ୍ପଷ୍ଟତା: ଶୂନ। ଶୂନ ଉପରେ ଆପଣ ଯାହା ବି ଲଗାନ୍ତି ତାହା ଖେଳିବାର ଦାମ, ଆପଣ ନିଜେ ବାଛିଥିବା, କୌଣସି ସୂତ୍ର ଦ୍ୱାରା ଶ୍ରେଷ୍ଠ କରାଯାଇନଥିବା।
ଭଗ୍ନାଂଶ Kelly ଓ “ଟଙ୍କା ପରିଚାଳନା” ବିଷୟରେ ଏକ ଟିପ୍ପଣୀ
“ରୁଲେଟ ପାଇଁ Kelly” ନାଁରେ ବିକ୍ରି ହେଉଥିବା, ପ୍ରତି ବାଜିରେ ଖେଳ ପାଣ୍ଠିର ଏକ ସ୍ଥିର ପ୍ରତିଶତ ସୁପାରିଶ କରୁଥିବା ପଦ୍ଧତିଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି ସଙ୍କୁଚିତ ହେଉଥିବା ବାଜି ରାଶି ସହ ସମାନ ରାଶିର ବାଜିକୌଶଳସମାନ ରାଶିର ବାଜିପ୍ରତି ଘୂର୍ଣ୍ଣନରେ ସମାନ ରାଶି ବାଜି ଲଗାଇବା। ପ୍ରତ୍ୟେକ ବାଜି ବଦଳ କ୍ରମକୁ ଏହା ସହ ତୁଳନା କରାଯାଏ।ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ପଢ଼ନ୍ତୁ →। ସେଗୁଡ଼ିକ ମୋଟ ବାଜି ରାଶିଟଙ୍କାମୋଟ ବାଜି ରାଶିଗୋଟିଏ ସେସନ କିମ୍ବା ଅବଧିରେ ବାଜି ଲଗାଯାଇଥିବା ମୋଟ ରାଶି, ପୁଣି ଲଗାଯାଇଥିବା ଜିତ ସମେତ। ଅନ୍ୟ ନାମ: handle, action।ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ପଢ଼ନ୍ତୁ →ର 2.70% ହାରନ୍ତି, ଆଉ ହାରିବା ସହ ବାଜି ରାଶି ସଙ୍କୁଚିତ ହେଉଥିବାରୁ ପାଣ୍ଠି ସରିବାକୁ ଅସମ୍ଭାବ୍ୟ ନୁହେଁ, ଧୀର କରନ୍ତି। ବଜେଟକୁ ଲମ୍ବା ସମୟ ଚଳାଇବାର ଏହା ଏକ ଯୁକ୍ତିସଙ୍ଗତ ଉପାୟ; ଏହା Kelly ନୁହେଁ, ଯାହା ଅଟକିବାକୁ କହନ୍ତା।
ସୂତ୍ର
ପ୍ରଶ୍ନ
କେବଳ ପକ୍ଷପାତୀ ଚକଲ୍ୟାବ୍ପକ୍ଷପାତୀ ଚକଯେଉଁ ଚକର ଭୌତିକ ତ୍ରୁଟି ଯୋଗୁଁ କେତେକ ଖୋପର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା 1/37ରୁ ଅଧିକ ହୁଏ। ବିରଳ, କେବଳ ହଜାର ହଜାର ଲିପିବଦ୍ଧ ଘୂର୍ଣ୍ଣନରୁ ଚିହ୍ନଟ କରିହେବ।ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ପଢ଼ନ୍ତୁ → କିମ୍ବା ସମୟ ମାପ ଯନ୍ତ୍ରରୁ ମାପିଥିବା ସୁବିଧା ସହ। ନିରପେକ୍ଷ ଚକରେ ନୁହେଁ।
କାରଣ ସୁବିଧାର ଆକଳନରେ ତ୍ରୁଟି ଥାଏ, ଆଉ ଅଧିକ ବାଜି କମ୍ ବାଜିଠାରୁ ଅଧିକ ମହଙ୍ଗା। ଅଧା-Kelly ପ୍ରସରଣଗଣିତପ୍ରସରଣପ୍ରତ୍ୟାଶିତ ମୂଲ୍ୟର ଚାରିପାଖେ ଫଳ କେତେ ବ୍ୟାପକ ଭାବେ ବିସ୍ତାରିତ ତାହାର ମାପ। ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟାର ବାଜିରେ ଅଧିକ, ସମାନ ଦେୟ ବାଜିରେ କମ୍।ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ପଢ଼ନ୍ତୁ →ର ଏକ ଚତୁର୍ଥାଂଶରେ ବୃଦ୍ଧିର ତିନି ଚତୁର୍ଥାଂଶ ଦିଏ।
ନା। Kelly ସୁବିଧା ଥିଲେ ବୃଦ୍ଧିକୁ ଶ୍ରେଷ୍ଠ କରେ। ଖେଳ ପାଣ୍ଠି ପରିଚାଳନା ସୁବିଧା ନଥିଲେ ଖର୍ଚ୍ଚକୁ ନିୟନ୍ତ୍ରଣ କରେ।
ଗଣିତ ସହ ମଜା
ପ୍ରଥମେ ନିଜେ ଚେଷ୍ଟା କରନ୍ତୁ। ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମାଧାନ ଲୁଚା ହୋଇଛି; ପ୍ରସ୍ତୁତ ହେଲେ ଖୋଲନ୍ତୁ।
Thorp ଓ Shannonଙ୍କ ପୂର୍ବାନୁମାନ ଯନ୍ତ୍ର ପ୍ରାୟ 44% ସୁବିଧା ଦେଉଥିଲା। ଗୋଟିଏ ପୂର୍ବାନୁମାନିତ ସଂଖ୍ୟା ଉପରେ Kelly ଖେଳ ପାଣ୍ଠିଟଙ୍କାଖେଳ ପାଣ୍ଠିଖେଳ ପାଇଁ ଅଲଗା ରଖାଯାଇଥିବା ମୋଟ ରାଶି। ଖେଳ ପାଣ୍ଠି ପରିଚାଳନା ଅର୍ଥ ପ୍ରତି ବାଜି ଓ ପ୍ରତି ସେସନରେ ଏଥିରୁ କେତେ ବିପଦରେ ପକାଇବେ ତାହା ସ୍ଥିର କରିବା।ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ପଢ଼ନ୍ତୁ →ର 1.26% ବାଜି ଲଗାଇବାକୁ କୁହେ। ଯଦି ସେହି ସମାନ 44% ସୁବିଧା ପାଞ୍ଚଟି ପଡ଼ୋଶୀ ସଂଖ୍ୟାରେ ବାଣ୍ଟି ଦିଆଯାଇଥିବା ଗୋଟିଏ ବାଜିରେ ଆସନ୍ତା?
ସମାଧାନ ଦେଖାନ୍ତୁ
ଉତ୍ତର ତେବେ Kelly ଖେଳ ପାଣ୍ଠିର 7.1% କୁହେ, ଏବଂ ଖେଳ ପାଣ୍ଠି ପ୍ରାୟ ଛଅ ଗୁଣ ଦ୍ରୁତ ବଢ଼େ: 1,000 ବାଜିରେ ପ୍ରାୟ 1.25 ମିଲିୟନ ଗୁଣ, ପ୍ରାୟ 11.5 ଗୁଣ ତୁଳନାରେ।
44% ସୁବିଧା ଥିବା ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟାର ବାଜିବାଜିଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟାର ବାଜିଗୋଟିଏ ମାତ୍ର ସଂଖ୍ୟା, ଜିତର ଦେୟ 35:1।ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ପଢ଼ନ୍ତୁ → 0.04 ସମ୍ଭାବନାରେ ଜିତେ, କାରଣ 36 × 0.04 = 1.44। Kellyଙ୍କ ବାଜି ରାଶି ହେଉଛି ସୁବିଧାକୁ ଅଡ୍ସ ଦ୍ୱାରା ଭାଗ: 0.44/35 = 1.26%। ବାଜି ପିଛା ସାଧାରଣ ବୃଦ୍ଧି 0.04 × ln(1 + 35 × 0.0126) + 0.96 × ln(1 − 0.0126) ≈ 0.00244, ତେଣୁ 1,000 ବାଜି ଖେଳ ପାଣ୍ଠିକୁ ପ୍ରାୟ e^2.44 ≈ 11.5 ଗୁଣ କରେ।
ଗୋଟିଏ ବାଜି ରାଶିକୁ ପାଞ୍ଚଟି ସଂଖ୍ୟାରେ ବାଣ୍ଟନ୍ତୁ, ତେବେ ବାଜି 0.20 ସମ୍ଭାବନାରେ ଜିତେ ଏବଂ 1 ବଦଳରେ 36/5 ଦିଏ, ଅର୍ଥାତ୍ 6.2 ବିରୁଦ୍ଧ 1: ତଥାପି 44% ସୁବିଧା, କାରଣ 0.2 × 7.2 = 1.44। Kellyଙ୍କ ବାଜି ରାଶି 0.44/6.2 = 7.10% ହୁଏ, ଏବଂ ବାଜି ପିଛା ବୃଦ୍ଧି 0.01404, ପ୍ରାୟ 5.75 ଗୁଣ। 1,000 ବାଜିରେ ତାହା e^14.04, ପ୍ରାୟ 1.25 ମିଲିୟନ।
ସୁବିଧା ସମାନ; ଉଠାପକା କମ୍। ପାଞ୍ଚରେ ଥରେ ଜିତୁଥିବା ବାଜି ପାଣ୍ଠି ସରିଯିବାର ବିପଦ ବିନା ଖେଳ ପାଣ୍ଠିର ବଡ଼ ଅଂଶ ବହନ କରିପାରେ, ଏବଂ Kellyଙ୍କ ବୃଦ୍ଧି ତାହାକୁ ପୁରସ୍କୃତ କରେ। Thorp (1984) ପୂର୍ବାନୁମାନ ଖେଳାଳିମାନେ କାହିଁକି ଖଣ୍ଡଚକଖଣ୍ଡଚକରେ ଖୋପର ଏକ ଅବିଚ୍ଛିନ୍ନ ଚାପ, ବାଜି ନକ୍ସାର କୌଣସି ଗୋଷ୍ଠୀଠାରୁ ଭିନ୍ନ।ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ପଢ଼ନ୍ତୁ →ରେ ବାଜି ଲଗାନ୍ତି ଦେଖାଇବାକୁ ଉଦାହରଣଟି ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତି। ବ୍ୟବହାରରେ ପାଞ୍ଚଟି ପଡ଼ୋଶୀ ସଂଖ୍ୟାବାଜିପଡ଼ୋଶୀ ସଂଖ୍ୟାଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ ଚକରେ ତାହାର ଦୁଇ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ଦୁଇଟି ଲେଖାଏଁ ଖୋପ, ପାଞ୍ଚଟି ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟାର ଚିପ୍।ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ପଢ଼ନ୍ତୁ → ସବୁଠାରୁ ଭଲ ଏକକ ସଂଖ୍ୟାଠାରୁ ଟିକେ କମ୍ ସୁବିଧା ବହନ କରନ୍ତି (ରୁଲେଟରେ ସୁବିଧା-ଖେଳ ଦେଖନ୍ତୁ)।
ଜଣେ ଖେଳାଳି ଦୁଇଟି ପଡ଼ୋଶୀ ଖୋପଉପକରଣଖୋପରୋଟରରେ ଥିବା 37ଟି ସଂଖ୍ୟାଯୁକ୍ତ କକ୍ଷ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ। ଅନ୍ୟ ନାମ: slot, cup।ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ପଢ଼ନ୍ତୁ → ପାଇଛନ୍ତି ଯାହା ପ୍ରତ୍ୟେକ 37ରେ 1 ବଦଳରେ 25ରେ 1 ଥର ପଡ଼େ। ସେମାନେ ଦୁଇଟି ମଝିରେ 17 ବିରୁଦ୍ଧ 1ରେ ଦୁଇ ସଂଖ୍ୟାର ବାଜିବାଜିଦୁଇ ସଂଖ୍ୟାର ବାଜିଦୁଇଟି ପାଖାପାଖି ସଂଖ୍ୟା, ଜିତର ଦେୟ 17:1।ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ପଢ଼ନ୍ତୁ → ଲଗାଇବେ, ନା ପ୍ରତ୍ୟେକ ସଂଖ୍ୟାରେ ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟାର ବାଜି? Kelly କେତେ କୁହେ, ଏବଂ ଏପରି ଗୋଟିଏ ଖୋପ ତୁଳନାରେ ଖେଳ ପାଣ୍ଠି କେତେ ଦ୍ରୁତ ବଢ଼େ?
ସମାଧାନ ଦେଖାନ୍ତୁ
ଉତ୍ତର କିଛି ଫରକ ପଡ଼େ ନାହିଁ: ଦୁଇ ସଂଖ୍ୟାର ବାଜିରେ ଖେଳ ପାଣ୍ଠିର 2.59%, ବା ପ୍ରତ୍ୟେକ ସଂଖ୍ୟାରେ 1.29%। ସାଧାରଣ ଖେଳ ପାଣ୍ଠି 1,000 ଘୂର୍ଣ୍ଣନରେ ପ୍ରାୟ 155 ଗୁଣ ବଢ଼େ, ଗୋଟିଏ ଖୋପ ସହ 11.5 ଗୁଣ ତୁଳନାରେ।
ଦୁଇ ସଂଖ୍ୟାର ବାଜି 2/25 = 0.08 ସମ୍ଭାବ୍ୟତାଗଣିତସମ୍ଭାବ୍ୟତାଗୋଟିଏ ଫଳର ସମ୍ଭାବନା, 0ରୁ 1 କିମ୍ବା 0%ରୁ 100%। ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା: 1/37 = 2.70%।ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ପଢ଼ନ୍ତୁ →ରେ ଜିତେ ଏବଂ 17 ବିରୁଦ୍ଧ 1 ଦିଏ, ତେଣୁ ଲଗାଯାଇଥିବା ପ୍ରତି ଏକକଟଙ୍କାଏକକଗୋଟିଏ ପଦ୍ଧତି କିମ୍ବା ଖେଳାଳି ଯେଉଁ ମୂଳ ବାଜି ରାଶିରେ କାମ କରନ୍ତି। ବାଜି ବଦଳ କ୍ରମକୁ ଏକକରେ ବର୍ଣ୍ଣନା କରାଯାଏ ଯାହାଫଳରେ ତାହା ଯେକୌଣସି ଟେବୁଲରେ ଲାଗୁ ହୁଏ।ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ପଢ଼ନ୍ତୁ →ରେ 18 × 0.08 = 1.44 ଫେରାଏ: 44% ସୁବିଧା, ଗୋଟିଏ ପକ୍ଷପାତୀ ଖୋପ ସହ ସମାନ। Kellyଙ୍କ ବାଜି ରାଶି ହେଉଛି ସୁବିଧାକୁ ଅଡ୍ସ ଦ୍ୱାରା ଭାଗ: 0.44/17 = 2.59%।
ପ୍ରତ୍ୟେକ 1.29%ର ଦୁଇଟି ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟାର ବାଜି ଠିକ୍ ସମାନ ଫଳ ଦିଏ। ଯେକୌଣସି ସଂଖ୍ୟା ପଡ଼ିଲେ, ଗୋଟିଏ ଚିପ୍ଟଙ୍କାଚିପ୍ଏକ ସ୍ଥିର ରାଶିକୁ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କରୁଥିବା ଟୋକେନ୍, ବାଜି ଲଗାଇବା ପାଇଁ ବାଜି ନକ୍ସା ଉପରେ ରଖାଯାଏ। ଅନ୍ୟ ନାମ: check।ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ପଢ଼ନ୍ତୁ → 35 ବିରୁଦ୍ଧ 1 ଜିତେ ଏବଂ ଅନ୍ୟଟି ହାରେ, ଶୁଦ୍ଧ 34 × 1.29% = ଖେଳ ପାଣ୍ଠିର 44%, ଯେପରି ଦୁଇ ସଂଖ୍ୟାର ବାଜି ଦିଏ; କୌଣସିଟି ନ ପଡ଼ିଲେ, ଦୁଇଟିଯାକ ହାରେ।
ଘୂର୍ଣ୍ଣନ ପିଛା ବୃଦ୍ଧି 0.00505, ଗୋଟିଏ ଖୋପ ପାଇଁ 0.00244 ତୁଳନାରେ, ତେଣୁ 1,000 ଘୂର୍ଣ୍ଣନରେ ସାଧାରଣ ଖେଳ ପାଣ୍ଠି e^2.44 ≈ 11.5 ଗୁଣ ବଦଳରେ e^5.046 ≈ 155 ଗୁଣ ବଢ଼େ। ଦୁଇଟି ଭଲ ସଂଖ୍ୟା ଗୋଟିଏର ଦୁଇ ଗୁଣଠାରୁ ବହୁତ ଅଧିକ ମୂଲ୍ୟବାନ, ସେଥିପାଇଁ ପକ୍ଷପାତ ଖେଳାଳିମାନେ ସଂଖ୍ୟାର ଗୋଷ୍ଠୀରେ ବାଜି ଲଗାନ୍ତି। Thorp (1984) ସେହି ସମାନ ତୁଳନା କରନ୍ତି।
ହାସ୍ୟ ବିରତି
ରୁଲେଟର ବୃଦ୍ଧି-ଶ୍ରେଷ୍ଠ ବାଜି ରାଶି ଏମିତି ଏକ ସଂଖ୍ୟା ଯାହା ସମସ୍ତେ ଆଗରୁ ଜାଣନ୍ତି।
ଉତ୍ସ
- Kelly, J. L. “A new interpretation of information rate.”
- Breiman, L. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Haghani, V. & Dewey, R. “Rational decision-making under uncertainty: observed betting patterns on a biased coin.”